МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

проф. В.Г. Чирский, доц. Ю.Н. Макаров

химический факультет МГУ

1 курс, 1 семестр.

Аксиома отделимости. Верхние и нижние грани. Стягивающиеся отрезки. Предельные точки.

Предел последовательности, предел функции. Бесконечно малые. Арифметические свойства предела.

Предельный переход в неравенствах. Вычисление .

Предел монотонной ограниченной функции. Число .

Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции.

Непрерывность. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

Непрерывность элементарных функций. Сравнение функций. Вычисление пределов

, , .

Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции. Ограниченность непрерывной на отрезке функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума функции. Теоремы Лагранжа и Коши.

Формулы Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Пеано. Разложения функций , , , , .

Правила Лопиталя.

Монотонность функции. Достаточные условия экстремума. Выпуклость графика функции.

2 семестр.

Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих радикалы. Интегрирование тригонометрических функций.

Определённый интеграл, его геометрический смысл. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций, монотонных функций.

Свойства интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Площадь фигуры в прямоугольных и полярных координатах. Длина дуги. Объём тела. Площадь поверхности вращения.

Несобственные интегралы. Исследование сходимости интегралов

, ; .

Признаки сравнения. Абсолютная сходимость интегралов.

Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Смешанные производные. Дифференциал n-го порядка.

Производная по направлению, градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Поверхность уровня.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функции 2-х переменных.

Неявная функция. Вычисление её производных. Условный экстремум.

3 семестр.

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса (без доказательства). Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Теорема Лейбница.

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование. Разложения элементарных функций в степенные ряды.

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости (без доказательства).

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка). Уравнения с разделяющимися переменными, однородные. Уравнения вида . Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Дифференциальные уравнения n-го порядка. Задача Коши для уравнения

Понижение порядка дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.

Метод вариации постоянных.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.

Метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

4 семестр.

Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения.

Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление интеграла

.

Тройной интеграл, его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Криволинейный интеграл 1-го рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости. Признак полного дифференциала на плоскости.

Площадь поверхности. Интегралы по поверхности 1-го и 2-го рода.

Формула Остроградского. Её векторная запись.

Формула Стокса. Её векторная запись.

Скалярные и векторные поля. Определение и основные свойства grad, div, rot, потока и циркуляции векторного поля. Соленоидальное поле. Векторная трубка в соленоидальном поле. Потенциальное поле.