ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

проф. В.Г. Чирский, доц. Ю.Н. Макаров

химический факультет МГУ

1 курс, 2 семестр.

Линейное пространство. Размерность. Базис. Разложение вектора по базису.

Матрицы, основные действия над ними. Обратная матрица. Определители и их свойства. Ранг матрицы. Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований.

Системы линейных уравнений. Матричная запись. Формулы Крамера. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Однородная система уравнений. Фун­даментальная система решений. Линейные подпространства. Размерность пространства решений линейной однородной системы уравнений. Линейные неоднородные системы.

Линейные функционалы.

Линейные преобразования. Представление матрицами. Собственные векторы и соб­ствен­ные значения. Теорема Гамильтона-Кэли. Подобные (сопряжённые) матрицы. Матрица линейного преобразования в собственном базисе.

Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами. Ортогональный, ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации.

Квадратичная форма. Приведение к сумме квадратов методом Лагранжа. Закон инерции (без док-ва). Критерий Сильвестра (без док-ва). Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов в ортонормированном базисе.

Изменение координат вектора, матриц линейного преобразования и квадратичной формы при переходе к новому базису.

Группа. Теорема Лагранжа для конечных групп. Понятие о представлении групп.