ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

доц. Б.В. Гладков

1/2 года, 2 курс, химический факультет

1. Правило умножения и правило сложения комбинаторики. Выборки из генеральной совокупности. Выборки упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Размещения частиц (различимых и неразличимых) по различимым неупорядоченным ячейкам (с запретом и без запрета). Подсчет их количества.

2. Множество. Подмножество. Множество всех подмножеств. Операции над множест­вами и их свойства. Примеры.

3. Отображения множеств. Образ и прообраз. Полный прообраз. Эквивалентность множеств. Счетные и континуальные множества. Примеры. Алгебра и сигма-алгебра множеств. Примеры.

4. Разбиение множества. Число разбиений конечного множества на заданное число подмножеств с фиксированным числом элементов в каждом подмножестве.

5. Случайный эксперимент. Стохастическая устойчивость частот. Формализация веро­ятностной задачи. Вероятностное пространство. Дискретные и произвольные про­странства элементарных исходов (ПЭИ). Примеры. Случайные события. Операции над событиями. Связь вероятностной терминологии с теоретико-множественной терми­нологией. Алгебра и сигма-алгебра событий. Примеры.

6. Вероятность (вероятностная мера) в дискретном ПЭИ. Аксиомы. Примеры задания вероятности в дискретном ПЭИ. Классическое определение вероятности. Теорема сложения и ее обобщения. Примеры.

7. Произвольное ПЭИ. Вероятность (вероятностная мера) в произвольном ПЭИ. Аксиомы теории вероятностей. Аксиома непрерывности. Геометрические вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.

8. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимость событий. Независимость событий в совокупности. Пример С.Н. Бернштейна. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

9. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (схема Бернулли). Вероятностное пространство для схемы Бернулли. Последовательность независимых испытаний с  () исходами (полиномиальная схема).

10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра (без док-ва). Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без док-ва). Примеры применения теорем.

11. Сигма-алгебры числовых множеств на  (борелевские алгебры). Случайная величина (определения). Функция распределения. Распределение вероятностей. Свойства функции распределения (поведение в бесконечности и непрерывность слева – без док-ва). Индуцированное вероятностное пространство.

12. Дискретные случайные величины (распределения). Функция распределения. Примеры: вырожденное, дискретное равномерное, бернуллиевское, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое распределения; распределение Паскаля. Содержательный смысл указанных распределений. Предельные значения для гипергеометрических вероятностей.

13. Абсолютно непрерывные случайные величины (распределения). Функция распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение на отрезке, нормальное распределение с параметрами , стандартное нормальное распределение, показательное распределение (свойство отсутствия последействия), распределение Коши. Содержательный смысл указанных распределений.

14. Многомерные распределения. Функция распределения случайного вектора и ее свойства (без док-ва). Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распре­деления. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение в области на плоскости, двумерное нормальное распределение, дискретное распределение на конечном множестве точек плоскости. Связь маргинальных (одномерных) распределений с совместным распределением. Примеры. Условные распределения.

15. Независимость случайных величин (определения). Необходимые и достаточные условия независимости дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин (без док-ва).

16. Функции (борелевские) от случайных величин. Преобразование n-мерного случайного вектора в мерный. Пример: нахождение плотности распределения квадрата нормальной стандартной случайной величины (распределение хи-квадрат с одной степенью свободы). Формула композиции (свертка). Распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин. Пример: нахождение плотности суммы двух независимых случайных величин, одна из которых имеет равномерное распределение на отрезке , , а другая – нормальное распределение с параметрами .

17. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Формулы для вычисления математического ожидания функций от случайных величин. Свойства математического ожидания. Вычисление математического ожидания биномиальной и гипергеометрической случайных величин с помощью их представления в виде сумм бернуллиевских случайных величин. Дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства. Дисперсия линейной комбинации  произвольных случайных величин. Примеры. Связь между независимостью и некоррелированностью. Примеры. Условное математическое ожидание. Формула для вычисления полного математического ожидания.

18. Неравенства Маркова и Чебышева. Примеры применения неравенства Чебышева: оценка вероятности успеха в схеме Бернулли по частоте, оценка доли брака в партии изделий по доле брака в контрольной выборке. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Теорема Маркова (достаточное условие применимости закона больших чисел). Теоремы Чебышева и Бернулли. Примеры.

19. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Центральная предельная теорема (различные достаточные условия выполнения теоремы – без док-ва). Примеры применения. Понятие асимптотической нормальности. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы.

20. Теорема Слуцкого и теорема о сходимости (без док-ва).

21. Элементы математической статистики: выборка из распределения ; эмпирическая функция распределения; характеристики выборочных распределений; оценка (статистика); несмещенность и состоятельность оценок; методы получения оценок; приближенные доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли; распределения хи-квадрат и Стьюдента; критерии согласия (хи-квадрат и Колмогорова); точные выборочные распределения, точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения; различение гипотез, критерий Неймана-Пирсона; задачи регрессии, метод наименьших квадратов.

 

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1969.

2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Агар, 1996.